Finns det fler positiva heltal eller jämna, positiva heltal? Fler rationella tal (bråk) eller heltal?

Intuitivt svarar många att det måste finnas fler rationella tal än heltal och fler positiva heltal än jämna, positiva heltal. Men nej, så är det inte: de här talmängderna är nämligen alla lika stora. Man säger att mängderna har samma kardinalitet.

Två mängder är lika stora om man kan bilda en bijektion mellan dem. Det innebär att man kan para ihop varje element i den ena mängden med ett element i den andra mängden. Exempelvis är mängderna {a, b, c, d} och {k, l, m, n} lika stora eftersom man kan bilda t.ex. följande par: a-k, b-l, c-m och d-n. Enkelt och bra så länge det handlar om ändliga mängder, men av någon anledning har människan svårt med oändliga mängder. Matematikern David Hilbert illustrerade de oändliga mängderna och deras storlek genom att föreställa sig ett hotell med oändligt många rum, Hotel Infinity.

Rummen i Hilberts hotell (som alltså är oändligt många) är numrerade 1, 2, 3, 4 osv. Alla rum är upptagna då det en kväll kommer en ny gäst. Men Hilbert vet hur han skall få plats för nykomlingen: alla gäster får byta rum så att den som bodde i rum 1 flyttar till rum 2, den som bodde i rum 2 flyttar till rum 3 osv. Så kan den nya gästen flytta in i rum 1 och allt är frid och fröjd.

Nästa kväll dyker det upp oändligt många nya gäster. Hilbert ger order åt de nuvarande gästerna att flytta till det rum vars nummer är två gånger större än det nuvarande, 1 => 2, 2 => 4, 3 => 6 osv. De nuvarande gästerna bor alltså i de ”jämna” rummen (2, 4, 6…) och de nya gästerna kan flytta in i de ”udda” rummen (1, 3, 5…). Alla hotellgäster får plats.

Hilbert lyckas alltså para ihop varje hotellgäst med ett rum.

Enligt samma princip kan vi para ihop varje positivt heltal med ett jämnt, positivt heltal: 1-2, 2-4, 3-6 osv. (man kan säga att vi kan numrera de jämna, positiva heltalen). Att para ihop de positiva rationella talen med de positiva heltalen (de negativa går sedan på samma sätt) är inte lika lätt, men visst går det att hitta ett mönster också här: 1 -> 1/1, 2 -> 2/1, 3 -> 1/2, 4 -> 2/2, 5 -> 3/1, 6 -> 1/3, 7 -> 3/2, 8 -> 2/3, 9 -> 3/3 osv. Vissa av bråken är identiska, t.ex. 1/1 och 2/2, men det gör ingenting. När vi skapar vår lista kan vi hoppa över sådana tal som har förekommit redan tidigare: 1 -> 1/1, 2 -> 2/1, 3 -> 1/2, 4 -> 3/1, 5 -> 1/3, 6 -> 3/2, 7 -> 2/3 osv.

Med andra ord är mängderna positival heltal och jämna, positiva heltal lika stora. Mängden bråk har också samma kardinalitet. De är alla exempel på numrerbart oändliga mängder.